题目内容
已知△ABC的外接圆是单位圆圆O，且∠ABC=
，记∠BAC=x，f（x）=
•
+
•
+
•
．
（1）求f（x）的解析式及值域；
（2）求△ABC的面积的最大值．
| π |
| 6 |
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| OC |
| OA |
（1）求f（x）的解析式及值域；
（2）求△ABC的面积的最大值．
考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理
专题：综合题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）利用三角形外接圆的性质可得f（x）=
•
+
•
+
•
=cos2C+cos2A+cos2B，再利用三角恒等变换可化简为
cos(2x+
)+
，由A+C=x+C=
π，得0＜x＜
π，进而可得
＜2x+
＜
π，借助余弦函数的单调性可求值域；
（2）由正弦定理
=2R，得b=1，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得1=a2+c2-
ac≥(2-
)ac，从而有S△ABC=
acsinB=
ac≤
；
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| OC |
| OA |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 11 |
| 6 |
（2）由正弦定理
| b |
| sinB |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
2+
| ||
| 4 |
解答：
解：（1）由已知得f（x）=
•
+
•
+
•
=cos2C+cos2A+cos2B
=cos2（
π-x）+cos2x+
=
cos2x-
sin2x+
=
cos(2x+
)+
．
∵A+C=x+C=
π，∴0＜x＜
π，
＜2x+
＜
π，
∴-1≤cos（2x+
）＜
，
-
≤f（x）＜2，
∴所求解析式为f（x）=
cos(2x+
)+
，值域是[
-
，2）．
（2）由正弦定理
=2R，得b=1，
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得1=a2+c2-
ac≥(2-
)ac，
∴ac≤2+
，
∴S△ABC=
acsinB=
ac≤
，即△ABC的面积的最大值为
．
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| OC |
| OA |
=cos2（
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵A+C=x+C=
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 11 |
| 6 |
∴-1≤cos（2x+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴所求解析式为f（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（2）由正弦定理
| b |
| sinB |
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得1=a2+c2-
| 3 |
| 3 |
∴ac≤2+
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
2+
| ||
| 4 |
2+
| ||
| 4 |
点评：本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式、基本不等式、正弦余弦定理等知识，综合性较强，运算量稍大．
练习册系列答案
相关题目
设复数z=2+ai（a∈R，i是虚数单位），则
（
是z的共轭复数）是纯虚数的一个充分不必要条件是（ ）
| ||
| z |
. |
| z |
| A、a=2 | ||
| B、a=±2 | ||
C、a=
| ||
D、a=±
|
已知函数f（x）=
，则下列结论错误的是（ ）
| sinx+cosx+|sinx-cosx| |
| 2 |
| A、f（x）的最小正周期是2π | ||||
B、f（x）的对称轴是x=
| ||||
C、f（x）的最小值是-
| ||||
D、f（x）在[
|
