题目内容

已知A、B、C是抛物线y2=2px上的三点，且BC与x轴垂直，直线AB，AC分别与抛物线的轴交于D、E两点，求证：抛物线的顶点平分线段DE．
考点：抛物线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先设出抛物线的参数方程及B，C，A的坐标，则直线AC，AB的直线方程可表示出来，进而求得AC，AB与x轴的交点D，E的坐标，进而可证明结论．
解答： 解：抛物线参数方程为y=t，x=′
t2
2p
，
设B（
t
2
1
2p
，t1），C（
t
2
1
2p
，-t1），A（
t
2
2
2p
，t2）
所以求得AC的直线方程为
y-t2=
(t2-t1)(x-
t
2
2
2p
)
t
2
2
2p
-
t
2
1
2p

化简y-t2=
2p(x-
t
2
2
2p
)
t1+t2

同理求得直线AB方程为
y-t2=
2p(x-
t
2
2
2p
)
t2-t1
，
∴可以求出AB、AC与x轴即抛物线轴交点
D（-
t1•t2
2p
，0）、E（
t1t2
2p
，0）
所以，抛物线的顶点平分线段DE
点评：本题主要考查了抛物线的方程，参数方程，直线方程的相关问题．考查了学生基础知识综合运用．
练习册系列答案
相关题目
设i是虚数单位，
.
z
是复数z的共轭复数，若z=
2i3
1+i
，则
.
z
=（　　）
A、-1-iB、1+i
C、-1+iD、1-i
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bcosC+
3
bsinC-a-c=0
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，△ABC的面积为
3
，求△ABC的内切圆与外接圆面积之比．
已知抛物线：y=-
1
4
x2上点（2，-1）的切线为L，圆C的圆心为抛物线的焦点，圆C在直线L上截得的弦长为2
7
．
（1）求圆C的方程；
（2）设圆C与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，点C在抛物线上，求△ABC面积的最小值．
已知函数f（x）=ax-lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处切线l的方程，并判断l与f（x）的图象交点的个数；
（Ⅱ）若f（x）存在零点，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=2|x+1|-|x-3|
（1）求不等式f（x）≥5的解集；
（2）当x∈[-2，2]时，关于x的不等式f（x）-|2t-3|≥0有解，求实数t的取值范围．
阅读如图所示的程序框图，则输出S的值等于
 
．
定义在R上的函数f（x）单调递增，且对任意x∈（0，+∞），恒有f（f（x）-log2x）=1，则函数f（x）的零点为
 
．
设F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，B是圆C：x2+y2+6x+6y+14=0上任意一点，设点A到y轴的距离为m，则m+|AB|的最小值为
 
．

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