Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，P是AB中点，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点．其中正确命题的个数（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：圆锥曲线的共同特征

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①由双曲线的定义即可判断出；
②利用垂经定理与圆的性质可得动点P的轨迹为圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根分别为

1

2

，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④由双曲线

x2

25

-

y2

9

=1可得c=

34

，其焦点为(±

34

，0)，椭圆

x2

35

+y²=1的焦点为(±

34

，0)，即可判断出．

解答： 解：①A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，只有当k＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，因此不正确；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，P是AB中点，则动点P的轨迹为圆，不正确；
③方程2x²-5x+2=0的两根分别为

1

2

，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；
④由双曲线

x2

25

-

y2

9

=1可得c=

34

，其焦点为(±

34

，0)，椭圆

x2

35

+y²=1的焦点为(±

34

，0)，因此有相同的焦点，正确．
其中正确命题的个数是2．
故选：C．

点评：本题考查了圆锥曲线的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．