Question

已知函数f（x）=mx²-mx-1
（1）若2是方程f（x）=

1

2

x的一个根，a_n=

f(n)+ 5 4

（n∈N^*），求数列{a_n}的前n项和S_n
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,函数恒成立问题

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）通过2是方程f（x）=

1

2

x的一个根，求出m，化简a_n=

f(n)+ 5 4

（n∈N^*），利用等差数列求数列{a_n}的前n项和S_n
（2）利用对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，得到m的不等式，利用二次函数闭区间上的最值，求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由题意2是方程f（x）=

1

2

x的一个根，可得4m-2m-1=1，
解得m=1，∵a_n=

f(n)+ 5 4

（n∈N^*），
∴an=n-

1

2

，
∴Sn=

n( 1 2 +n- 1 2 )

2

=

n2

2

（6分）
（2）∵f（x）＜-m+5?m（x²-x+1）＜6，
∵x²-x+1＞0，∴m＜

6

x2-x+1

，
对于x∈[1，3]恒成立，记g（x）=

6

x2-x+1

，x∈[1，3]，
记h（x）=x²-x+1，h（x）在x∈[1，3]上为增函数．则g（x）在[1，3]上为减函数，
∴[g（x）]_min=g（3）=

6

7

，∴m＜

6

7

．所以m的取值范围为(-∞，

6

7

)．（12分）

点评：本题考查数列与函数结合，函数的最值以及函数的恒成立，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．