Question

已知集合A={z₁||z₁-2|≤2，z₁∈C}，B={z|z=

1

2

z₁i+b，z₁∈A，b∈R}，
（1）当b=0时，求出集合B在复平面所表示的区域；
（2）当A∩B=∅时，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：（1）由已知条件得|z₁-2|≤2，当b=0时，z1=

2

i

z，由此能求出集合B在复平面所表示的区域是以（0，1）为圆心，以1为半径的圆内及圆上的点．
（2）由已知得|z-（b+i）|≤1，要使A∩B=∅，则有圆|z-2|=2和|z-（b+i）|=1外离，由此能求出实数b的取值范围．

解答： 解：（1）由已知条件得|z₁-2|≤2，
当b=0时，z=

z1i

2

，即z1=

2

i

z，
∴z1-2=

2

i

z-2，
∴|z₁-2|=|

2

i

z-2|≤2，
即|

1

i

z-1|≤1，∴|z-i|≤1，
∴集合B在复平面所表示的区域是以（0，1）为圆心，以1为半径的圆内及圆上的点．
（2）将|

z1i

2

-i|≤1，化为|

z1i

2

+b-b-i|≤1，
∴|z-（b+i）|≤1，
要使A∩B=∅，
则有圆|z-2|=2和|z-（b+i）|=1外离，
即|（b+i）-2|＞3，
∴（b-2）²+1＞9，即b²-4b-4＞0，
解得b＜2-2

2

或b＞2+2

2

．

点评：本题考查集合B在复平面所表示的区域的求法，考查实数b的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意复数性质的合理运用．