Question

设△ABC的三内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=3，A=60°，b+c=3

2

．
（Ⅰ）求三角形ABC的面积；
（Ⅱ）求sinB+sinC的值及△ABC中内角B，C的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c与a，cosA的值代入求出bc的值，最后利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（Ⅱ）由a，sinA的值，利用正弦定理及比例的性质求出

b+c

sinB+sinC

的值，将b+c的值代入求出sinB+sinC的值，用C表示出B，代入sinB+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定出B的度数．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=3，A=60°，b+c=3

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，即9=18-3bc，
∴bc=3，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

；
（Ⅱ）∵a=3，A=

π

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：

b+c

sinB+sinC

=

a

sinA

=

3

3 2

=2

3

，
∵b+c=3

2

，
∴sinB+sinC=

3 2

2 3

=

6

2

，
∵B+C=120°，即B=120°-C，
∴sinB+sinC=sin（120°-C）+sinC=

3

2

cosC+

1

2

sinC+sinC=

3

2

cosC+

3

2

sinC=

3

sin（C+30°）=

6

2

，即sin（C+30°）=

2

2

，
∴C+30°=45°或135°，即C=15°或C=105°，
则B=105°，C=15°或B=15°，C=105°．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．