Question

若实数x，y满足约束条件

x≥1 y≥2x 2x+y-8≤0

，目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无数个，则z的最小值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、5
• D、13

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+ay（a＞0）得y=-

1

a

x+

z

a

，
∵a＞0，∴目标函数的斜率k=-

1

a

＜0．
平移直线y=-

1

a

x+

z

a

，
由图象可知当直线y=-

1

a

x+

z

a

和直线2x+y-8=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，
此时-

1

a

=-2，即a=

1

2

．即目标函数为z=x+

1

2

y，
当直线y=-

1

a

x+

z

a

经过点A时，z取得最小值，
由

x=1 y=2x

，解得

x=1 y=2

，即A（1，2），
此时z=1+2×

1

2

=2
故选：A．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．