Question

已知函数f（x）=msinx+

2

cosx，（m＞0）的最大值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的值域；
（Ⅱ）已知△ABC外接圆半径R=

3

，f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB，角A，B所对的边分别是a，b，求

1

a

+

1

b

的值．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由题意可得

m2+2

=2，求得m的值，可得f（x）=2sin（x+

π

4

），再利用正弦函数的定义域和值域、单调性，求得函数f（x）在[0，π]上的值域．
（Ⅱ）利用正弦定理化简 f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB可得2R（a+b）=2

6

ab，根据△ABC的外接圆半径为R=

3

，求得

1

a

+

1

b

的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，f（x）的最大值为

m2+2

=2．
而m＞0，于是m=

2

，f（x）=2sin（x+

π

4

）．
由于函数在[0，

π

4

]上递增，在[

π

4

，π]递减，
故当x=

π

4

时，函数取得最大值为2；当x=π时，函数取得最小值为-

2

，
∴函数f（x）在[0，π]上的值域为[-

2

，2]．
（Ⅱ）∵f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB，由正弦定理，可得2R（a+b）=2

6

ab，
∵△ABC的外接圆半径为R=

3

，∴a+b=

2

ab，∴

1

a

+

1

b

=

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．