Question

各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项的和为S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n；
（2）记T_n为数列{

1

an•an+1

}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对任意的正整数n都成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设公差为d，利用S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列，建立方程，即可求得首项与公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法，可求数列{

1

an•an+1

}的前n项和，则T_n≤λa_n+1对任意的正整数n都成立，
等价于λ≥

n

2(n+2)2

对?n∈N^*恒成立，求得

n

2(n+2)2

的最大值即可．

解答： 解：（1）设公差为d，则
∵S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列
∴4a₁+6d=14，（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d）
∵d≠0，∴d=1，a₁=2，
∴a_n=n+1，
s_n=

n(2+n+1)

2

=

n(n+3)

2

．
（2）

1

an•an+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

∵T_n≤λa_n+1对任意的正整数n都成立，
∴

n

2(n+2)

≤λa_n+1对任意的正整数n都成立，
等价于λ≥

n

2(n+2)2

对?n∈N^*恒成立．
又

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

2(4+4)

=

1

16

，且在n=2时取等号，
所以实数λ的最小值为

1

16

．

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力以及恒成立问题的等价转化能力，综合性强，属于难题．