Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k＞1）的切线，切点为Q₁，设点Q₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设点Q₂在x轴上的投影是点P₂；…依次下去，得到一系列点Q₁，Q₂，…Q_n，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（Ⅰ）求证：an=(

k

k-1

)n，n∈N*；
（Ⅱ）求证：a_n≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）求证：

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

…+

n

an

＜k2-k．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）对函数y=x^k求导，求出过曲线上的点Q_n的切线方程，结合其投影点求得数列{a_n}是首项a1=

k

k-1

，公比为

k

k-1

的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列的通项公式变形，运用二项式定理放缩证明a_n≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）由错位相减法求出

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

，然后利用数学归纳法证明答案．

解答： 证明：（Ⅰ）对y=x^k求导数，
得y′=kx^k-1，
点Q_n（a_n，a_n^k）的切线方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．
当n=1时，切线过点P₁（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得a1=

k

k-1

；
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得

an

an-1

=

k

k-1

．
∴数列{a_n}是首项a1=

k

k-1

，公比为

k

k-1

的等比数列，
数列{a_n}的通项公式为an=(

k

k-1

)n，n∈N^*；
（ II）应用二项式定理，得an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n
=

C

0 n

+

C

1 n

•

1

k-1

+

C

2 n

•(

1

k-1

)2+…+

C

n n

•(

1

k-1

)n＞1-

n

k-1

； 
（ III）an=(

k

k-1

)n，
令q=

k

k-1

，则an=qn，
Sn=

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

=

1

q

+

2

q2

+…+

n

qn

，
qSn=

1

q2

+

2

q3

+…+

n

qn+1

，
两式相减，得

1

2

Sn=

1

q

+

1

q2

+…+

1

qn

-

n

qn+1

=

1 q (1- 1 qn )

1- 1 q

-

n

qn+1

，
∴S_n=q-

n+q

qn

，
则S_n=

k

k-1

-

n+ k k-1

( k k-1 )n

．
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，Sn=

k-1

k

＜k2-k(k＞1)；
假设n=m时结论成立，即

1

a1

+

2

a2

+…+

m

am

＜k2-k，
则当n=m+1时，

1

a1

+

2

a2

+…+

m

am

+

m+1

am+1

＜k2+k+

m+1

( k k+1 )m+1

=k2+k+(m+1)(1+

1

k

)m+1＜k²+3k+2=（k+1）²+k+1．
综上，

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

…+

n

an

＜k2-k．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了等比关系的确定，训练了利用放缩法和数学归纳法证明数列不等式，是压轴题．