Question

方程（1-k）x²+（3-k²）y²=4（k∈R），当k=

 

时，表示圆；当k∈

 

时，表示椭圆；当k∈

 

时，表示双曲线；当k=

 

时，表示两条直线．

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据方程表示的曲线方程的特点，即可得到k的范围：方程表示圆?1-k=3-k²＞0，方程表示椭圆?1-k＞0，且3-k²＞0，且1-k≠3-k²，方程表示双曲线?（1-k）（3-k²）＜0，方程表示两条直线

1-k=0 3-k2＞0

3-k2=0 1-k＞0

，分别解出它们即可．

解答： 解：由于方程（1-k）x²+（3-k²）y²=4（k∈R），
则方程表示圆?1-k=3-k²＞0，?k=-1或k=2（舍去）；
方程表示椭圆?1-k＞0，且3-k²＞0，且1-k≠3-k²，
?k＜1且-

3

＜k＜

3

，且k≠2且k≠-1．?-

3

＜k＜1且k≠-1；
方程表示双曲线?（1-k）（3-k²）＜0?k＜-

3

或1＜k＜

3

；
方程表示两条直线?

1-k=0 3-k2＞0

3-k2=0 1-k＞0

?k=1或k=-

3

．
故答案为：-1，（-

3

，-1）∪（-1，1），（-∞，-

3

）∪（1，

3

），1或-

3

．

点评：本题考查已知方程表示的曲线，求参数的范围，考查椭圆和双曲线方程的特点，以及直线方程和圆的方程，考查运算能力，属于中档题．