Question

已知函数f（x）=x+log₂

x

3-x

．
（1）计算s=

∫

2 1

f（x）dx；
（2）设S（n）=

3(2n-1)

2n+1

（n∈N₊），用数学归纳法证明：S（n）-S=-

3

2n+1

．

Answer 1

考点：数学归纳法,定积分

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）直接利用定积分的性质化简s=

∫

2 1

f（x）dx利用对称性，求解即可．
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，通过验证n=1，假设n=k成立，证明n=k+1时不等式也成立即可．

解答： 解：（1）由定积分的性质得：s=

∫

2 1

f(x)dx=

∫

2 1

(x+log2

x

3-x

)dx=

∫

2 1

xdx+

∫

2 1

log2xdx-

∫

2 1

log2(3-x)dx…（2分）
由于函数y=log₂x与y=log₂（3-x）在区间[1，2]上的图象关于直线x=

3

2

对称，
故根据定积分的几何意义知：

∫

2 1

log₂xdx-

∫

2 1

log₂（3-x）dx=0，
而

∫

2 1

xdx=

3

2

3(2k+1-1)

2k+2

-

3

2

=

3(2×2k-1)

2×2k+1

-

3

2

=

3(2×2k-2+1)

2×2k+1

-

3

2

，
则S=

3

2

．…（6分）
（2）用数学归纳法证明：S（n）-S=-

3

2n+1

，即证：

3(2n-1)

2n+1

-

3

2

=-

3

2n+1

①当n=1时，左边=-

3

4

，右边=-

3

22

，所以等式成立；
②假设n=k（k≥1，k∈N₊）等式成立，即

3(2k -1)

2k+1

-

3

2

=-

3

2k+1

成立，
那么当n=k+1时，左边═

3(2×2k-2)

2×2k+1

+

3

2×2k+1

-

3

2

=

3×2(2k-1)

2×2k+1

-

3

2

+

3

2×2k+1

=-

3

2k+1

+

3

2×2k+1

=-

3

2×2k+1

=-

3

2k+1+1

．
这就是说，当n=k+1时，等式成立．
根据①②可知，等式对任意的n∈N₊都成立．…（12分）

点评：本题考查定积分的应用，数学归纳法的证明方法，注意证明过程的严禁性，考查逻辑推理能力．