Question

设函数f（x）=cos（2x+

π

3

）-2sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值和单调递增区间；
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f（

C

2

）=-2，求sinA．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）运用两角和的余弦公式及二倍角公式，即可得到y=

3

cos（2x+

π

6

）-1，由余弦函数的最值和单调增区间，即可得到答案；
（2）分别求出sinB，化简f（

C

2

）=-2，即可得到cos（C+

π

6

）=-

3

3

，sin（C+

π

6

）=

6

3

，再由C=（C+

π

6

）-

π

6

，求出sinC，cosC，再由sinA=sin（B+C），运用两角和的正弦公式，即可得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x+

π

3

）-2sin²x
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x-（1-cos2x）
=

3

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）-1
=

3

cos（2x+

π

6

）-1
则函数f（x）的最大值为

3

-1，
令2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ，k∈Z，
即kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

，
则单调递增区间为[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]，k∈Z；
（2）若cosB=

1

3

，则

π

3

＜B＜π，sinB=

2 2

3

．
则0＜C＜

2π

3

，
由于f（

C

2

）=-2，即

3

cos（C+

π

6

）-1=-2，
即cos（C+

π

6

）=-

3

3

，
由于

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

，则sin（C+

π

6

）=

6

3

，
则cosC=cos[（C+

π

6

）-

π

6

]=（-

3

3

）×

3

2

+

6

3

×

1

2

=

6 -3

6

，
sinC=sin[（C+

π

6

）-

π

6

]=

6

3

×

3

2

-（-

3

3

）×

1

2

=

3 2 + 3

6

，
故sinA=sin（B+C）=

2 2

3

×

6 -3

6

+

1

3

×

3 2 + 3

6

=

5 3 -3 2

18

．

点评：本题考查三角函数的化简和求最值，考查三角函数的最值和单调增区间，以及三角函数中的角的变换，考查两角和差公式，属于中档题．