题目内容

已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），其中x∈[-
π
2
，
π
2
]．
（1）求证：（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）；
（2）设函数f（x）=
a
•
b
+|
b
|2，求f（x）的最大值和最小值．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,向量的模
专题：平面向量及应用
分析：（1）由已知得(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=cos2
3
2
x+sin2
3
2
x-(cos2
x
2
+sin2
x
2
)=0，由此能证明（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）．
（2）f（x）=
a
•
b
+|
b
|2=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
+1=cos2x+1，由此能求出f（x）的最大值和最小值．
解答： （1）证明：∵
a
=（cos
3
2
x，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），其中x∈[-
π
2
，
π
2
]．
∴(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=cos2
3
2
x+sin2
3
2
x-(cos2
x
2
+sin2
x
2
)=1-1=0，
∴（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）．
（2）解：f（x）=
a
•
b
+|
b
|2
=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
+1
=cos2x+1，
当x=2kπ，k∈Z时，ymax=2，
x=2kπ+π，k∈Z时，ymin=0．
点评：本题考查向量垂直的证明，考查函数的最大值和最小值的求法，是基础题，解题时要注意三角函数性质的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
各项均不相等的等差数列{an}的前四项的和为S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
（2）记Tn为数列{
1
an•an+1
}的前n项和，若Tn≤λan+1对任意的正整数n都成立，求实数λ的最小值．
中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆C的离心率为
1
2
，它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合，
（1）求椭圆C的方程；
（2）过直线l：x=4上一点M引椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求证：AB过椭圆C的右焦点F；（可用结论：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上点P（x0，y0）处切线方程：
x0x
a2
+
y0y
b2
=1）
（3）在（2）的条件下，是否存在λ，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
已知cosα=-
3
5
，且tanα＞0．
（1）求sinα，tanα的值；
（2）求
tanαcos3α
1-sinα
的值．
已知椭圆C：
x2
8
+
y2
4
=1，直线l过点P（-2，1）交椭圆C于A、B两点．
（1）若P是AB中点，求直线l的方程及弦AB的长；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．
已知函数f（x）满足：2f（x）+3f（x-1）=4x，求f（x）的解析式．
已知函数f（x）=-acos2x-asinx+
3a
2
+b（a≠0）的定义域为[-
π
2
，
π
2
]，值域为[-4，5]，求a、b的值．
函数f（x）=2x+
1
x
（x≥
1
2
）的值域为
 
．
函数f（x）=
1
x+1
+lg（1-x）的定义域是
 
．

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