Question

在数列{a_n}中，a₁=

1

6

，a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

×

1

3n

（n≥2）
（1）求证：数列{a_n+

1

3n

}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设S_n是{a_n}的前n项和，求证：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定,数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（1）根据题意，利用条件构造数列{a_n+

1

3n

}成等比，或者直接利用等比数列定义证明新数列后项与前项为比为定值，得到数列{a_n+

1

3n

}是等比数列；（2）先求出数列{a_n+

1

3n

}的通项公式，直接可得到{a_n}的通项公式；（3）利用数列{a_n}的通项公式，对数列{a_n}进行求和，再证明不等关系S_n＜

1

2

成立，得到本题结论．

解答： （1）证明：∵a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

×

1

3n

（n≥2），
∴an+

1

3n

=

1

2

an-1+

3

2

×

1

3n

=

1

2

(an-1+

1

3n-1

)．
∵a₁=

1

6

，
∴a 1+

1

3

=

1

2

．
∴数列{a_n+

1

3n

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
（2）解：由（1）知：数列{a_n+

1

3n

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴a_n+

1

3n

=

1

2n

，
∴a_n=

1

2n

-

1

3n

，n∈N^*．
（3）解：∵S_n是{a_n}的前n项和，
∴Sn=(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-(

1

3

+

1

32

+

1

33

…

1

3n

)
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

+

1

2

×

1

3n

-

1

2n

=

1

2

+

2n-2×3n

2n+1×3n

＜

1

2

．
∴S_n＜

1

2

．

点评：本题考查了定义法证明数列成等比、构造法求通项、等比数列的前n项和公式，本题难度适中，属于中档题．