Question

已知函数f（x）=

x2+sinx，x≥0 -x2+cos(x+α)，x＜0

是奇函数，则sinα=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由已知中函数f（x）=

x2+sinx，x≥0 -x2+cos(x+α)，x＜0

是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=-

π

2

+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．

解答： 解：当x＜0时，-x＞0，
则f（x）=-x²+cos（x+α），f（-x）=（-x）²+sin（-x）=x²-sinx，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（-x），
∴cos（x+α）=sinx恒成立，
∴α=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴sinα=-1，
故答案为：-1

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．