题目内容
证明：当x≥0时，f（x）=ex（x+1）-3x2-4x+2＞0恒成立．
考点：函数恒成立问题
专题：计算题,导数的综合应用,不等式的解法及应用
分析：求出f（x）的导数，求出极小值点，注意范围，代入函数f（x）得到最小值，证得最小值大于0，即可．
解答：
证明：f（x）=ex（x+1）-3x2-4x+2的导数为
f′（x）=ex（x+2）-6x-4，
即有f′（1）=3e-10＜0，f′（2）=4e2-16＞0，x＞2都有f′（x）＞0，
则f′（x）=0在x＞0有且只有一个正根，由二分法思想，可设为x0∈（1，1.28），
则（x0+2）ex0=6x0+4，由于x0为极小值点，在x＞0也为最小值点，
则f（x）最小值为f（x0）=（x0+1）ex0-3x02-4x0+2
=（x0+1）•
-3x02-4x0+2=
在（1，1.28）上大于0成立，
则有即f（x）的最小值大于0，
则有当x≥0时，f（x）=（x+1）ex-3x2-4x+2＞0恒成立．
f′（x）=ex（x+2）-6x-4，
即有f′（1）=3e-10＜0，f′（2）=4e2-16＞0，x＞2都有f′（x）＞0，
则f′（x）=0在x＞0有且只有一个正根，由二分法思想，可设为x0∈（1，1.28），
则（x0+2）ex0=6x0+4，由于x0为极小值点，在x＞0也为最小值点，
则f（x）最小值为f（x0）=（x0+1）ex0-3x02-4x0+2
=（x0+1）•
| 6x0+4 |
| x0+2 |
| -3x03-4x02+4x0+8 |
| x0+2 |
在（1，1.28）上大于0成立，
则有即f（x）的最小值大于0，
则有当x≥0时，f（x）=（x+1）ex-3x2-4x+2＞0恒成立．
点评：本题考查不等式恒成立问题，注意转化为求函数的最值，考查运用导数求最值，考查运算能力，属于中档题．
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