Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-6．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞

x

ex

-

2

e

成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx，利用导数性质能求出函数f（x）的最小值．
（Ⅱ）由已知得a≤lnx+x+

6

x

对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=lnx+x+

6

x

，则h′(x)=

1

x

+1-

6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

，由此利用导数性质结合已知条件能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）由已知得当且仅当x=

1

e

时，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

，设m（x）=

x

ex

-

2

e

，x∈（0，+∞），则m′（x）=

1-x

ex

，由此利用导娄性质能证明对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞

x

ex

-

2

e

成立．

解答： （Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx，
当x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x=

1

e

时，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

．
（Ⅱ）解：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即xlnx≥-x²+ax-6恒成立，
即a≤lnx+x+

6

x

对x∈（0，+∞）恒成立，
设h（x）=lnx+x+

6

x

，
则h′(x)=

1

x

+1-

6

x2

=

x2+x-6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

，
∵x∈（0，+∞），∴x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（2，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴x∈（0，+∞）时，h（x）存在唯一极小值h（2），即为最小值，
∴h（x）_min=h（2）=5+ln2，
∵a≤lnx+x+

6

x

对x∈（0，+∞）恒成立，只需a≤h（x）_min即可，
∴a≤5+ln2．
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞

x

ex

-

2

e

恒成立，
由（Ⅰ）可知，f（x）=xlnx在x∈（0，+∞）时，
当且仅当x=

1

e

时，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

，
设m（x）=

x

ex

-

2

e

，x∈（0，+∞），则m′（x）=

1-x

ex

，
∴x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减．
∴当且仅当x=1时，m（x）取得极大值也是最大值m（1），
∴m（x）_max=m（1）=-

1

e

，
∴

1

e

≠1，
∴对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞

x

ex

-

2

e

成立．

点评：本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．