Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx-1．
（1）若a＞0，求f（x）在（0，e]上的最小值；
（2）若a=2e，求证：对x∈（0，e]都有

2e

x

+lnx≥3．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，讨论导数的正负以确定函数的单调性，从而求函数的最小值；
（2）若a=2e，则f（x）=

2e

x

+lnx-1在（0，e]上单调递减，从而可得f（x）≥f（e），化简即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

x

+lnx-1，
∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①当0＜a＜e时，
f（x）在（0，a]上单调递减，在（a，e]上单调递增；
f_min（x）=f（a）=1+lna-1=lna；
②a≥e时，
f（x）在（0，e]上单调递减，
f_min（x）=f（e）=

a

e

+1-1=

a

e

；
（2）证明：若a=2e，则f（x）=

2e

x

+lnx-1在（0，e]上单调递减，
则

2e

x

+lnx-1≥f（e）=2+1-1，
故

2e

x

+lnx≥3．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．