Question

给出下列四个向量：
①命题“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）与坐标轴有4个交点，分别为A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），则x₁x₂-y₁y₂=0；
④对?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立，则a≤2
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,直线与圆,简易逻辑

分析：①，写出命题“?x∈R，x²+1＞3x”的否定，再判断即可；
②，依题意可得（m+2）（m-2）+m（m+2）=0，解得m=-2或m=1，利用充分必要条件的概念可判断②；
③，依题意可知，x₁、x₂是方程x²+Dx+F=0的两根，y₁、y₂是方程y²+Ey+F=0的两根，利用韦达定理可求得x₁x₂与y₁y₂，可判断③；
④，令

x

=t，由x∈R⁺，知t＞0；则a≤t+

1

t

恒成立，利用双钩函数的性质（或基本不等式）可求得a≤2，可判断④．

解答： 解：对于①：命题“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故①正确；
对于②：直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂⇒（m+2）（m-2）+m（m+2）=0，解得m=-2或m=1，
所以，“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要条件，故②错误；
对于③：因为圆x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）与坐标轴有4个交点，分别为A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），
所以，x₁、x₂是方程x²+Dx+F=0的两根，所以x₁x₂=-F；
同理可知，y₁、y₂是方程y²+Ey+F=0的两根，所以y₁y₂=F，
所以x₁x₂-y₁y₂=0，故③正确；
对于④：因为对?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立，令

x

=t，由x∈R⁺，知t＞0；
所以，t²+1≥at恒成立，即a≤t+

1

t

恒成立，
当t＞0时，t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2，即（t+

1

t

）_min=2，
所以a≤2，故④正确．
综上所述，所有真命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，主要考查全称命题与特称命题之间的关系、充分必要条件的概念及其应用，综合考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，考查恒成立问题与转化思想．