Question

直线与圆、椭圆、双曲线交于A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）两点，P（x，y）为线段AB的中点，点M为曲线的对称中心，研究K_AB•K_PM的值．
（1）在圆中，若AB是圆M的一条弦，P是弦AB的中点，则K_AB•K_PM=

 

；
（2）将椭圆类比于圆，中心类比于圆心，你能提出怎样类似的问题？并证明．（以焦点在x轴上为例）
（3）你能从以上问题，运用类比思想，大胆猜想，探究出双曲线中类似的结论吗？并证明（以焦点在x轴上为例）．你能总结出一个上述问题的统一结论吗？

Answer 1

考点：圆锥曲线的共同特征

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由垂径定理，得AB⊥PM，由此能求出K_AB•K_PM=-1．
（2）设AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的一条弦，P为AB的中点，M是椭圆中心，则K_AB•K_PM=-

b2

a2

．利用点差法证明即可．
（3）AB是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的一条弦，P为AB的中点，M是双曲线中心，则K_AB•K_PM=

b2

a2

．利用点差法证明即可．

解答： 解：（1）由垂径定理，得AB⊥PM，
∴K_AB•K_PM=-1．
故答案为：-1．
（2）设AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的一条弦，
P为AB的中点，M是椭圆中心，则K_AB•K_PM=-

b2

a2

．
证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）两点，P（x₀，y₀），
∵A，B在椭圆上∴b2x12+a2y12=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，
两式相减，得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(

y

1

+y2)=0，
整理，得

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

b2

a2

，
∴

y1-y2

x1-x2

•

2y0

2x0

=K_AB•K_PM=-

b2

a2

．
（3）AB是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的一条弦，
P为AB的中点，M是双曲线中心，则K_AB•K_PM=

b2

a2

．
证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）两点，P（x₀，y₀），
∵A，B在双曲线上，
∴b2x12-a2y12=a2b2，b2x22-a2y22=a2b2，
两式相减，得b2(x1-x2)(x1+x2)-a2(y1-y2)(

y

1

+y2)=0，
整理，得

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=

b2

a2

，
∴

y1-y2

x1-x2

•

2y0

2x0

=K_AB•K_PM=

b2

a2

．

点评：本题考查圆锥曲线中K_AB•K_PM的值的探究，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．