Question

已知数列{a_n}满足：a₁=6，a_n+1=

n+2

n

a_n+（n+1）（n+2）．
（1）若d_n=

an

n(n+1)

，求数列{d_n}的通项公式；
（2）若b_n=

an

(n+1)(n+2)

•2n+1，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把a_n+1=

n+2

n

a_n+（n+1）（n+2），两边同除（n+1）（n+2），得到{

an

n(n+1)

}是首项为3、公差为1的等差数列，由此能求出d_n．
（2）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2），b_n=n•2ⁿ⁺¹，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足：a₁=6，a_n+1=

n+2

n

a_n+（n+1）（n+2），
∴等式两边同除（n+1）（n+2），得：

an+1

(n+1)(n+2)

=

an

n(n+1)

+1，
又

a1

1×2

=3，∴{

an

n(n+1)

}是首项为3、公差为1的等差数列，
∴d_n=

an

n(n+1)

=3+（n-1）=n+2．
（2）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2），
∴b_n=

an

(n+1)(n+2)

•2n+1=n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n×2ⁿ⁺²，②
①-②，得-T_n=2²+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n×2n+2
=2ⁿ⁺²-4-n×2n+2 ，
=-4-（n-1）×2ⁿ⁺²，
∴Tn =（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．