题目内容
已知矩阵A=
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）若β=
，求A5β
|
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）若β=
|
考点：特征值与特征向量的计算,几种特殊的矩阵变换,二阶行列式与逆矩阵
专题：计算题,矩阵和变换
分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）由（1）的结论令向量
=m
+n
，求出m，n，故A5
=-3λ15
+5λ25
．代入特征向量即可得到．
（2）由（1）的结论令向量
| β |
| α1 |
| α2 |
| β |
| α1 |
| α2 |
解答：
解：（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）=
=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=3，
将λ1=2代入
，解得x-2y=0，
所以矩阵A属于特征值2的一个特征向量为
=
；
同理，矩阵A属于特征值3的一个特征向量为
=
．
（2）令
=m
+n
，则
=m
+n
=
，
解得，m=-3，n=5，
∴
=-3
+5
，
∴A5
=-3λ15
+5λ25
=-3×25×
+5×35×
=
．
|
令f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=3，
将λ1=2代入
|
所以矩阵A属于特征值2的一个特征向量为
| α1 |
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同理，矩阵A属于特征值3的一个特征向量为
| α2 |
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（2）令
| β |
| α1 |
| α2 |
|
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解得，m=-3，n=5，
∴
| β |
| α1 |
| α2 |
∴A5
| β |
| α1 |
| α2 |
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点评：本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．
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