Question

如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，
（1）求证：BD⊥PC．
（2）若PA=2AB，∠BAD=45°，求PD与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明BD⊥平面PAC，利用直线与平面垂直的性质即可证得BD⊥PC；
（2）过D作DE⊥AB，垂足为E，连接PE，则DE⊥平面PAB，∠DPE是PD与平面PAB所成角，即可求解．

解答： （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD；①
又底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；②
PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，
∴BD⊥PC；
（2）解：过D作DE⊥AB，垂足为E，连接PE，则DE⊥平面PAB，
∴∠DPE是PD与平面PAB所成角，
设DE=1，则AD=

2

，PA=2

2

，
∴PD=

2+8

=

10

，
∴sin∠DPE=

DE

PD

=

10

10

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定与性质，熟练掌握线面垂直与平行的判定定理和性质定理是解题的关键．属于中档题．