Question

对于n∈N^*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20，当i=0时，a_i=1，当1≤i≤k时，a_i为0或1，记I（n）为上述表示中a_i为0的个数，例如：1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，故I（1）=0，Ⅰ（4）=2，则：
（1）Ⅰ（12）=

 

；  
  (2)

63

n=1

I(n)=

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：规律型

分析：（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意义，可得答案；
（2）将n分为n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．

解答： 解：（1）根据题意，12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，则I（12）=2；
（2）63=1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
设32≤n≤63，且n为整数；
则n=1×2⁵+a₁×2⁴+a₂×2³+a₃×2²+a₄×2¹+a₅×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中6个数都为0或1，
其中没有一个为1时，有C₅⁰种情况，即有C₅⁰个I（n）=5；
其中有一个为1时，有C₅¹种情况，即有C₅¹个I（n）=4；
其中有2个为1时，有C₅²种情况，即有C₅²个I（n）=3；
…

63

n=32

I(n)=C₅⁰×5+C₅¹×4+C₅²×3+C₅³×2+C₅⁴×1+C₅⁵×0=80，
同理可得：

31

n=16

I(n)=32，

15

n=8

I(n)=12，

7

n=4

I(n)=4，

3

n=2

I(n)=1，I（1）=0，
∴

63

n=1

I(n)=

63

n=32

I(n)+

31

n=16

I(n)+

15

n=8

I(n)+

7

n=4

I(n)+

3

n=2

I(n)+I（1）=80+32+12+4+1+0=129；
故答案为：（1）2；（2）129

点评：解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义及

63

n=1

I(n)的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．