Question

已知点P（x，y）为圆C：x²+y²-4x+3=0上一点，C为圆心．
（1）求x²+y²的取值范围；
（2）求

y

x

的最大值；
（3）求

PC

•

PO

（O为坐标原点）的取值范围．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）将圆C化为标准方程，找出圆心与半径，作出相应的图形，所求式子表示圆上点到原点距离的平方，从而求x²+y²的取值范围；
（2）令

y

x

=k，则y=kx，代入圆的方程，利用△≥0，求

y

x

的最大值；
（3）

PC

•

PO

=（2-x，-y）•（-x，-y）=x²+y²-2x=2x-3，即可求

PC

•

PO

（O为坐标原点）的取值范围．

解答： 解：（1）圆C化为标准方程为（x-2）²+y²=1，圆心为（2，0），半径为1
根据图形得到P与A（3，0）重合时，离原点距离最大，此时x²+y²=3²=9，P与B（1，0）重合时，离原点距离最大，此时x²+y²=1²=1．
∴x²+y²的取值范围是[1，9]；
（2）令

y

x

=k，则y=kx．    
代入圆的方程，整理得（1+k²）x²-4x+3=0．    
依题意有△=16-12（1+k²）=4-12k²=4（1-3k²）≥0，即k²-

1

3

≤0，
解得-

3

3

≤k≤

3

3

，
 故

y

x

的最大值是

3

3

；
（3）

PC

•

PO

=（2-x，-y）•（-x，-y）=x²+y²-2x=2x-3，
∵1≤x≤3，
∴-1≤2x-3≤3，
∴

PC

•

PO

（O为坐标原点）的取值范围是[-1，3]．

点评：本小题主要考查直线和圆相交，相切的有关性质，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．