Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面abcd是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，设E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求空间几何体BCDP的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；
（Ⅱ）设AD的中点为G，连接PG，证明PG⊥底面ABCD，可求空间几何体BCDP的体积．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC，
∵底面ABCD是边长为a的正方形，并且F是BD的中点，
∴F是AC的中点，-----------------------------------------------------------（2分）
在△PAC中，F是AC的中点，E是PC的中点，
∴EF∥PA，---------------------------------------------------------------------------（4分）
∵EF?平面PAD，PA?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．--------------------------------（6分）
（Ⅱ）解：∵侧面PAD⊥底面ABCD，交线是AD，
在△PAD中，PA=PD=

2

2

AD
∴△PAD是等腰直角三角形，
设AD的中点为G，连接PG，则PG⊥AD，且PG=

1

2

a-----------------------------（6分）
∴PG⊥底面ABCD，
∴空间几何体BCDP的体积是：VBCDP=VP-BCD=

1

3

×S△BCD×PG=

1

12

a3．---------------（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查空间几何体BCDP的体积，解题时要合理地化空间问题为平面问题，属于中档题．