Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数
①求a、b的值；       
②证明f（x）在R上是减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：①根据定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数，可得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出即可；
②利用减函数的定义即可证明．

解答： ①解：∵定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1），
∴

-1+b

2+a

=0，

-2-1+b

1+a

=-

-2+b

4+a

，
解得b=1，a=2．
②证明：由①可得：f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

．
?x₁＜x₂，∴2x2＞2x1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2

-(

1

2x2+1

-

1

2

)=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在R上是减函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，属于中档题．