Question

17．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，长轴 A B上的100等分点从左到右依次为点 M₁，M₂，…，M₉₉，过 M_i（i=1，2，…，99）点作斜率为k（k≠0）的直线l_i（i=1，2，…，99），依次交椭圆上半部分于点 P₁，P₃，P₅，…，P₁₉₇，交椭圆下半部分于点 P₂，P₄，P₆，…，P₁₉₈，则198条直线 A P₁，A P₂，…，A P₁₉₈的斜率乘积为$-\frac{1}{{{2^{99}}}}$．

Answer 1

分析 先证一个结论：对于椭圆上非长轴端点任一点P，有${k_{AP}}{k_{BP}}=\frac{y_P}{{{x_p}-a}}•\frac{y_P}{{{x_p}+a}}=\frac{y_p^2}{{x_P^2-{a^2}}}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{2}$，再根据椭圆对称性得${k_{A{P_1}}}{k_{A{P_{198}}}}={k_{A{P_1}}}{k_{B{P_1}}}=-\frac{1}{2}$，因此198条直线 A P₁，A P₂，…，A P₁₉₈的斜率乘积为${（-\frac{1}{2}）^{99}}=-\frac{1}{{{2^{99}}}}$

解答 解：∵离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，对于椭圆上非长轴端点任一点P，有${k_{AP}}{k_{BP}}=\frac{y_P}{{{x_p}-a}}•\frac{y_P}{{{x_p}+a}}=\frac{y_p^2}{{x_P^2-{a^2}}}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{2}$，再根据椭圆对称性得${k_{A{P_1}}}{k_{A{P_{198}}}}={k_{A{P_1}}}{k_{B{P_1}}}=-\frac{1}{2}$，因此198条直线 A P₁，A P₂，…，A P₁₉₈的斜率乘积为${（-\frac{1}{2}）^{99}}=-\frac{1}{{{2^{99}}}}$
故答案为：-$\frac{1}{{2}^{99}}$．

点评 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．