Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0．ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的周期为π，其图象上一个最高点为M（$\frac{π}{6}$，2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求f（x）的最值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵由题意可得，A=2，$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2．
∵再根据函数的图象经过点M（$\frac{π}{6}$，2），可得2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得ω=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为1，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2．
故f（x）值域为[1，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．