Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x-$\frac{3}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且b+c=$\sqrt{3}$+1，a=1．若f（A）=$\frac{3}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简可得函数解析式f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式可求函数f（x）的最小正周期T，由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数的单调增区间．
（2）由f（A）=$\sqrt{3}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由0＜A＜π，可得$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，解得A=$\frac{π}{6}$，由余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x-$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数的单调增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（2）∵f（A）=$\sqrt{3}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，
∴解得：2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，可得：A=$\frac{π}{6}$．
又∵b+c=$\sqrt{3}$+1，a=1．
∴由余弦定理可得：1=${b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{3}bc$=（b+c）²-bc（2+$\sqrt{3}$）=4+2$\sqrt{3}$-bc（2+$\sqrt{3}$），
∴解得：bc=$\frac{3+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×$$\frac{3+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．