Question

6．已知函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，x∈R．
（1）求函数y=f（-3x）+1的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知锐角△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，且a=7，sinB+sinC=$\frac{13}{7}$sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式和两角和差的正弦公式化简即可得到f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），即可求出y=f（-3x）+1的解析式，根据周期的定义和函数的单调性问题得以解决；
（2）先由（1），求出A，再由正弦定理，余弦定理，三角形面积公式即可求出．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴y=f（-3x）+1=2sin（-6x+$\frac{π}{3}$）+1=-2sin（6x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴T=$\frac{2π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤6x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{36}$+$\frac{kπ}{3}$≤x≤$\frac{5π}{36}$+$\frac{kπ}{3}$，k∈Z，
∴函数y=f（-3x）+1的最小正周期为$\frac{π}{3}$，单调递减区间为[-$\frac{π}{36}$+$\frac{kπ}{3}$，$\frac{5π}{36}$+$\frac{kπ}{3}$]，k∈Z，
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，
∴2sin（A-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
即sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，
∵sinB+sinC=$\frac{13}{7}$sinA，a=7、
∴b+c=13，
∴b²+c²+2bc=169，①
由余弦定理b²+c²+2bccosA=a²=49，②
由①-②得，2bc（1-cosA）=120，
即bc=$\frac{60}{1-cosA}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{30sinA}{1-cosA}$，
当A=$\frac{π}{3}$时，S_△ABC=30$\sqrt{3}$，
当A=$\frac{2π}{3}$时，S_△ABC=10$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．