Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，2a_n=1+S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知，令n=1可求a₁，利用n≥2时，a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1可证；
（Ⅱ）根据等比数列的通项公式求出求出a_n，再利用错位相减法即可求数列{na_n}的前n项和T_n．

解答： 证明：（Ⅰ）当n=1时，2a₁=1+S₁，解得a₁=1，
当n≥2时，2a_n=1+S_n，2a_n-1=1+S_n-1，
两式相减得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
所以数列{a_n}是以1为首项、2为公比的等比数列；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=2^n-1，则na_n=n•2^n-1，
所以T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1 ①，
2T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ ②，
①-②得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．

点评：本题考查数列中a_n与S_n关系式的应用，定义法判断数列是等比数列，以及利用错位相减法求数列的和，是常考的题型．