Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n是{a_n}的前n项和，对于任意的n∈N^*，有2S_n=3a_n-3
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}的通项公式b_n=

1

log3an•log3an+2

，{b_n}的前n项和为T_n，若?n∈N^*，a²-5a-

17

3

≤Tn恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，2a₁=2S₁=3a₁-3，解得a₁=3．当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1），再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=

1

log3an•log3an+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用“裂项求和”可得T_n=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．利用其单调性可得T_n的最小值为T₁=

1

3

．?n∈N^*，a²-5a-

17

3

≤Tn恒成立??n∈N^*，a²-5a--

17

3

≤（T_n）_min=T₁，再利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，2a₁=2S₁=3a₁-3，解得a₁=3．
当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=3a_n-3-（3a_n-1-3），化为a_n=3a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，
∴an=a1qn-1=3ⁿ．
（2）b_n=

1

log3an•log3an+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴{b_n}的前n项和为T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．
由上式可知：T_n对于n∈N^*单调递增，∴当n=1时，T_n取得最小值，T₁=

1

3

．
∵?n∈N^*，a²-5a-

17

3

≤Tn恒成立??n∈N^*，a²-5a--

17

3

≤（T_n）_min=T₁=

1

3

，
∴a²-5a-6≤0，
解得-1≤a≤6．
∴a的取值范围是[-1，6]．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、递推式、“裂项求和”方法、恒成立问题的等价转化方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．