Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．给出下列四个命题：
①f（3）=0；
②直线x=-6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：①中，由题意，令x=-3，求出f（3）=0；
②中，由题意，求出f（x）的周期为6，且满足f（-6-x）=f（-6+x），得出x=-6是y=f（x）图象的对称轴；
③中，由题意，得出y=f（x）在[-3，0]上是减函数，从而得y=f（x）在[-9，-6]上的单调性；
④中，由题意，知y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，得出y=f（x）在[0，2014]上的零点数．

解答： 解：对于①，∵f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），
又∵f（-3）=f（3），
∴f（3）=f（3）+f（3），
∴f（3）=0，①正确；
对于②，由①知f（x+6）=f （x），∴f（x）的周期为6；
又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x+6）=f（-x）；
而f（x）的周期为6，∴f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
∴f（-6-x）=f（-6+x）；
∴直线x=-6是y=f（x）图象的一条对称轴，②正确；
对于③，x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
即y=f（x）在[0，3]上是增函数；
∵f（x）是R上的偶函数，∴y=f（x）在[-3，0]上是减函数；
又f（x）的周期为6，∴y=f（x）在[-9，-6]上是减函数，③错误；
对于④，f（3）=0，且f（x）的周期为6，
又y=f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，6]上为减函数，
∴y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，
又2014=335×6+3，
∴y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336个零点，④错误．
综上，以上正确的命题是①②．
故答案为：①②．

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性，周期性与对称性以及函数零点的综合应用问题，是较难的题目．