Question

（1）设a＞0，b＞0，求证：a³+b³≥a²b+ab²；
（2）已知正数x、y满足2x+y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值及对应的x、y值；
（3）已知实数x、y、z满足x²+4y²+9z²=36，求x+y+z的最大值及对应的x、y、z值．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：计算题,证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）运用作差法，注意运用因式分解，立方和公式和完全平方公式化简整理，即可得证；
（2）运用1的代换，即有

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（2x+y），拆开整理，运用基本不等式即可得到最小值，注意等号成立的条件；
（3）由柯西不等式得到：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2．代入条件，化简即可得到最大值，注意等号成立的条件：x=4y=9z．

解答： （1）证明：由于a＞0，b＞0，
则a³+b³-（a²b+ab²）=（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）
=（a+b）（a²-2ab+b²）=（a+b）（a-b）²≥0，
故a³+b³≥a²b+ab²；
（2）解：因为正数x、y满足2x+y=1，

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（2x+y）=3+

y

x

+

2x

y

≥3+2

y x • 2x y

=3+2

2

，
当且仅当

y

x

=

2x

y

时取等号．  
由2x+y=1且当

y

x

=

2x

y

，x，y＞0 得x=1-

2

2

，y=

2

-1，
所以当x=1-

2

2

，y=

2

-1时，

1

x

+

1

y

有最小值为3+2

2

．
（3）解：由柯西不等式得到：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2．
因为x²+4y²+9z²=36，所以（x+y+z）²≤36×（1+

1

4

+

1

9

）=49，即-7≤x+y+z≤7．
则x+y+z的最大值是7，此时有x=4y=9z，则当x=

36

7

，y=

9

7

，z=

4

7

时，x+y+z取最大值7．

点评：本题考查不等式的证明，基本不等式的运用求最值，以及柯西不等式的运用求最值，注意等号成立的条件，属于中档题和易错题．