Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．过点（m，0）作圆的切线l交椭圆C于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）将△OAB的面积表示为m的函数，并求出面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,压轴题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由离心率及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切求出a，b，从而得到椭圆的方程；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出|AB|的距离，表示出△OAB的面积，利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）由题意，e²=(

c

a

)2=

a2-b2

a2

=

1

2

，
则a²=2b²；
又∵b=

| 2 |

1+1

=1，
∴b²=1，a²=2；
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由题意，设直线l的方程为x=ky+m，（|m|≥1），
由

x2 2 +y2=1 x=ky+m

消去x得，
（k²+2）y²+2kmy+m²-2=0．
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-

2km

k2+2

，y₁y₂=

m2-2

k2+2

；
又由l与圆x²+y²=1相切，得

|m|

k2+1

=1，
即m²=k²+1，
∴|AB|=

1+k2

•|y₁-y₂|
=

(1+k2)[ 8k2-8m2+16 (k2+2)2 ]

=

2 2 |m|

m2+1

．
又∵原点到直线l的距离d=1，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

2 |m|

m2+1

（m≥1）．
又∵

2 |m|

m2+1

=

2

|m|+ 1 |m|

≤

2

2

，
（当且仅当m=±1时，等号成立）．
∴m=±1时，△OAB的面积最大，最大值为

2

2

．

点评：本题考查了圆锥曲线方程的求法及圆锥曲线内的面积问题，化简比较复杂，做题要细心．属于难题．