Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x） 的导数，若f″（x）=0 有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x³-3x²+2x-2，请解答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）求证f（x）的图象关于“拐点”A对称．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据“拐点”的定义求出f''（x）=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”A的坐标．
（2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明．

解答： 解：（1）∵f'（x）=3x²-6x+2，
∴f''（x）=6x-6，
令f''（x）=6x-6=0，
得x=1，f（1）=-2 
所以“拐点”A的坐标为（1，-2）
（2）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上任意一点，则y0=x03-3x02+2x0-2 
∴P（x₀，y₀）关于（1，-2）的对称点P'（2-x₀，-4-y₀），
把P'（2-x₀，-4-y₀）代入y=f（x），得左边=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2 
右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-x03+3x02-2x0-2 
∴左边=右边，
∴P'（2-x₀，-4-y₀）在y=f（x）图象上，
∴f（x）的图象关于“拐点”A对称．

点评：本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．