题目内容
在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-
），（0，
）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与轨迹C交于A，B两点．
（1）求出轨迹C的方程；
（2）若
⊥
，求弦长|AB|的值．
| 3 |
| 3 |
（1）求出轨迹C的方程；
（2）若
| OA |
| OB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-
)，(0，
)为焦点，长半轴为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
，整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，由此利用韦达定理、弦长公式能求出弦长|AB|的值．
| 3 |
| 3 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
|
解答：
解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以(0，-
)，(0，
)为焦点，
长半轴为2的椭圆．…（2分）
它的短半轴b=
=1，…（4分），
故曲线C的方程为x2+
=1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
其坐标满足
，
消去y，整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，…（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
，x1x2=-
．…（8分）
若
⊥
，即x1x2+y1y2=0．…（9分）
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-
-
-
+1=0，
化简得-4k2+1=0，所以k2=
．…（11分）|AB|=
=
=
．…（13分）
点P的轨迹C是以(0，-
| 3 |
| 3 |
长半轴为2的椭圆．…（2分）
它的短半轴b=
22-(
|
故曲线C的方程为x2+
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
其坐标满足
|
消去y，整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，…（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
| 2k |
| k2+4 |
| 3 |
| k2+4 |
若
| OA |
| OB |
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-
| 3 |
| k2+4 |
| 3k2 |
| k2+4 |
| 2k2 |
| k2+4 |
化简得-4k2+1=0，所以k2=
| 1 |
| 4 |
| (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] |
|
4
| ||
| 17 |
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．
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