Question

如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y²=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、

  2

  3

  2

• D、2

  2

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：空间向量及应用

分析：直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（-1，0），由此推导出|OB|=

1

2

|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值．

解答： 解：设抛物线C：y²=4x的准线为l：x=-1
直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（-1，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=

1

2

|AF|，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为

1

2

，
∴点B的坐标为B（

1

2

，

2

），
把B（

1

2

，

2

）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），
解得k=

2

3

2

．
故选：C．

点评：本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．