Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距为2

7

，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tanθ=

3

2

．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为-

1

4

，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据双曲线的性质计算a，b，c．注意焦点在x轴上的渐近线方程为y=±

b

a

x．
（Ⅱ）当斜率存在时，设出直线方程y=kx+m，再联立椭圆方程和直线方程，设出两个交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据kAP•kAQ=-

1

4

，找出k和m的关系，从而求定点；当斜率不存在时单独讨论．

解答： 解：（Ⅰ）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距2c=2

7

，则c=

7

，∴a²+b²=7，①
渐近线方程y=±

b

a

x，由题知tanθ=

b

a

=

3

2

，②
由①②解得a²=4，b²=3，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
又A（-2，0），由题知kAP•kBQ=

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=-

1

4

，
则（x₁+2）（x₂+2）+4y₁y₂=0，且x₁，x₂≠-2，
则x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4+4（kx₁+m）（kx₂+m）
=(1+4k2)x1x2+(2+4km)(x1+x2)+4m2+4
=

(1+4k2)(4m2-12)

3+4k2

+(2+4km)

-8km

3+4k2

+4m2+4=0
则m²-km-2k²=0，
∴（m-2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=-k．
当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k=k（x+2）．
此时直线PQ过定点（-2，0），显然不适合题意．
当m=-k时，直线PQ的方程为y=kx-k=k（x-1），此时直线PQ过定点（1，0）．
当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点（1，0），P、Q点的坐标分别为(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)，满足kAP•kAQ=-

1

4

．
综上，直线PQ过定点（1，0）．

点评：本题是圆锥曲线和直线位置关系的常见类型，都是通过设而不求的方法，联立方程组，再由题目中给定的等式，寻求量与量之间的关系，从而求得定点．另外，直线的斜率是否存在也是需要讨论的情况．这在高考中是常考题型．