Question

6．设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R，已知f（x）在x=3处取得极值，
（Ⅰ）求f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，由题意可得f′（3）=0，解方程可得a的值，即可得到切线的斜率，以及切点，以及切线的方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8的导数为f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
f（x）在x=3处取得极值，可得f′（3）=54-18（a+1）+6a=0，
解得a=3，
可得f′（x）=6x²-6×4x+6×3，
即有f（x）在点A（1，f（1））处的切线斜率为k=0，
f（1）=2-12+18+8=16，
切点为（1，16），
f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y=16；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=6x²-24x+18，
由f′（x）＞0，可得x＞3或x＜1；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜3；
即有f（x）的减区间为（1，3），增区间为（-∞，1），（3，+∞）．

点评 本题考查导数的应用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．