Question

5．已知$\overrightarrow m=（{sinA，cosA}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}），\overrightarrow m•\overrightarrow n=1$，且A为锐角
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质，化简已知条件，通过A为锐角．解得A．
（2）利用倍角公式化简函数f（x）=cos2x+4sinAsinx的表达式．利用正弦函数的有界性求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（{sinA，cosA}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}），\overrightarrow m•\overrightarrow n=1$=$\sqrt{3}$sinA-cosA=2sin（A-$\frac{π}{6}$），A为锐角．
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$．解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）f（x）=cos2x+4cosAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
当x∈R时，sinx∈[-1，1]．
∴函数f（x）在sinx=$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值$\frac{3}{2}$．在sinx=-1时，函数取得最小值：-3．
函数f（x）=cos2x+4sinAsinx（x∈R）的值域：[-3，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、三角函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．