Question

17．已知函数g（x）=-$\frac{1}{x}$的图象关于点A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的对称图象为函数y=f（x）的图象．
（1）求y=f（x）；
（2）用函数单调性的定义证明y=f（x）在（一1，+∞）上为单调递增函数．

Answer 1

分析 （1）设函数y=f（x）的图象上任一点（x，y），相应y=g（x）图象上一点为（m，n），运用中点坐标公式和代入法，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）由单调性的定义，注意设自变量和作差、变形和定符号、下结论等步骤．

解答 解：（1）函数g（x）=-$\frac{1}{x}$的图象关于点A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）对称，
设函数y=f（x）的图象上任一点（x，y），相应y=g（x）图象上一点为（m，n），
可得x+m=-1，y+n=1，
即为m=-1-x，n=1-y，
代入g（x）=-$\frac{1}{x}$，可得1-y=-$\frac{1}{-1-x}$，
化为y=f（x）=$\frac{x}{x+1}$；
（2）证明：令x₁＞x₂＞-1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
由x₁＞x₂＞-1，
可得x₁-x₂＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
可得y=f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数．

点评 本题考查函数的对称性和应用：求函数的解析式，考查单调性的证明，注意运用定义法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．