Question

1．设命题p：直线mx-y+1=0与圆（x-2）²+y²=4有公共点；设命题q：实数m满足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示双曲线．
（1）若“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出p，q成立的等价条件，
（Ⅰ）若“p∧q”为真命题，则p真q真，即可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p、q一真一假，当p真q假时，求出m的取值范围，当p假q真时，求出m的取值范围，然后取并集即可得答案．

解答 解：若命题p：直线mx-y+1=0与圆（x-2）²+y²=4有公共点是真命题，
则圆心（2，0）到直线mx-y+1=0的距离不大于半径，
即$\frac{|2m+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}≤2$，
解得：$m≤\frac{3}{4}$．
∴命题p真时，$m≤\frac{3}{4}$．
命题p假时，$m＞\frac{3}{4}$．
命题q：实数m满足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示双曲线是真命题，
则（m-1）（2-m）＜0，解得m＜1或m＞2．
命题q假时，1≤m≤2．
（1）若“p∧q”为真命题，则p真q真，∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{3}{4}}\\{m＜1或m＞2}\end{array}\right.$，解得m≤$\frac{3}{4}$．
∴实数m的取值范围为：（-∞，$\frac{3}{4}$]；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p、q一真一假，
当p真q假时，则$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{3}{4}}\\{1≤m≤2}\end{array}\right.$，不存在满足条件的m值．
当p假q真时，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{3}{4}}\\{m＜1或m＞2}\end{array}\right.$，解得$\frac{3}{4}＜m＜1$．
综上，实数m的取值范围为：（$\frac{3}{4}$，1）．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线与圆的位置关系，双曲线的定义，复合命题等知识点，是中档题．