Question

（1）求证：3（1+a²+a⁴）≥（1+a+a²）²
（2）已知：a²+b²=1，m²+n²=2，证明：-

2

≤am+bn≤

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）运用作差法，由三个数和的平方公式，运用因式分解方法，即可得证；
（2）运用三角换元，可令a=cosα，b=sinα，m=

2

cosβ，n=

2

sinβ，α，β∈R，运用两角和的余弦公式和余弦函数的值域，即可得证．

解答： 证明：（1）∵3（1+a²+a⁴）-（1+a+a2）²
=3+3a²+3a⁴-（1+a²+a⁴+2a+2a³+2a²）
=2a⁴+2-2a-2a³
=2（a⁴-a³）+2（1-a）
=2（a-1）（a³-1）
=2（a-1）²（a²+a+1）=2（a-1）²[（a+

1

2

）²+

3

4

]≥0，
∴3（1+a²+a⁴）≥（1+a+a²）²
（2）∵a²+b²=1，m²+n²=2，
∴可令a=cosα，b=sinα，m=

2

cosβ，n=

2

sinβ，α，β∈R，
∴am+bn=

2

cosαcosβ+

2

sinαsinβ
=

2

（cosαcosβ+sinαsinβ）=

2

cos（α-β），
∵-1≤cos（α-β）≤1，
∴-

2

≤am+bn≤

2

．

点评：本题考查不等式的证明方法：作差法和换元法，考查推理能力，属于中档题．