Question

某公司生产某种产品投入固定资本20万元，以后生产x万件产品需要再投入可变资本a（x²-1）万元，收入资金为R（x）=160x-3.8x²-1480.2万元，已知当生产10万件产品时，投入生产资金可达到39.8万元．
（1）判断生产每件产品所需可变资本函数的单调性；
（2）求计划生产多少件产品时，利润最大？最大是多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）利用当生产10万件产品时，投入生产资金可达到39.8万元，求出a，可得函数解析式，利用导数，可得生产每件产品所需可变资本函数的单调性；
（2）确定函数解析式，利用配方法求最值即可．

解答： 解：（1）由题意得：

a(100-1)

10

=39.8-20，解得a=2，
∴生产每件产品所需可变资本函数y=2x-

2

x

，
∵y′=2+

2

x2

，∴生产每件产品所需可变资本函数为增函数；
（2）设计划生产x件产品时利润f（x）最大，则有f（x）=160x-3.8x²-1480.2-2（x²-1）=-5.8x²+160x-1478.2，
故当x=

400

29

万件时，利润最大．最大利润为f（

400

29

）=705.9万元．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．