Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=

1

2

（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．若?x∈R，f（x-2）≤f（x），则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由于当x≥0时，f（x）=

1

2

（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．可得当0≤x≤a²时，f（x）=-x；当a²＜x≤2a²时，f（x）=-a²；当x＞3a²时，f（x）=x-3a²．画出其图象．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象．
由于x∈R，f（x-2）≤f（x），可得6a²≤2，解出即可．

解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=

1

2

（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．
∴当0≤x≤a²时，f(x)=

1

2

(a2-x+2a2-x-3a2)=-x；
当a²＜x≤2a²时，f（x）=-a²；
当x＞3a²时，f（x）=x-3a²．
画出其图象．
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，
与x＞0时的图象关于原点对称．
∵?x∈R，f（x-2）≤f（x），
∴6a²≤2，
解得-

3

3

≤a≤

3

3

．
∴实数a的取值范围为-

3

3

≤a≤

3

3

．
故答案为：[-

3

3

，

3

3

]．

点评：本题考查了函数奇偶性、周期性，考查了分类讨论的思想方法，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．