Question

已知p（x）=x，f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若g（x）=p（1）f₅（x）+p（2）f₆（x）+p（3）f₇（x），求g（x）的展开式中x⁵的系数；
（2）证明：C

m m

+2C

m m+1

+3C

m m+2

+…+nC

m m+n-1

=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1 m+n

（m，n∈N^*）．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）利用二项式定理中展开式特点，发现g（x）的展开式中x⁵的系数为

C

5 5

+2

C

5 6

+3

C

5 7

，计算可得；
（2）由（1）可知等式的左边为函数h（x）=（1+x）^m+2（1+x）^m+1+3（1+x）^m+2+…+n（1+x）^m+n的展开式的x^m的系数，利用错位相减法中午等比数列的求和形式解答．

解答： 解：（1）由已知得g（x）=1（1+x）⁵+2（1+x）⁶+3（1+x）⁷，
∴g（x）的展开式中x⁵的系数为

C

5 5

+2

C

5 6

+3

C

5 7

=76；
（2）由（1）知C

m m

+2C

m m+1

+3C

m m+2

+…+nC

m m+n-1

为函数h（x）=（1+x）^m+2（1+x）^m+1+3（1+x）^m+2+…+n（1+x）^m+n的展开式的x^m的系数，
又（1+x）h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2+3（1+x）^m+3+…+n（1+x）^m+n+1，
 两式相减得-xh（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2+…+（1+x）^m+n+1-n（1+x）^m+n
=

(1+x)m[1-(1+x)n]

1-(1+x)

-n(1+x)m+n，
∴x²h（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx（1+x）^m+n，
∴h（x）展开式中x^m的系数等于x²h（x）展开式中x^m+2的系数
为-

C

m+2 m+n

+n

C

m+1 m+n

=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1 m+n

，
∴C

m m

+2C

m m+1

+3C

m m+2

+…+nC

m m+n-1

=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1 m+n

（m，n∈N^*）．

点评：本题考查了二项式定理的运用以及错位相减法求数列的和的问题．