Question

设函数f（x）=

1

2

mx2-2x+lnx．
（Ⅰ）判断x=1能否为函数f（x）的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若m≥0，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若存在m∈[-4，-1），使得定义在[1，t]上的函数g（x）=f（x）-ln（x+1）+x³在x=1处取得最大值，求实数t的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，得出m=1，于是f（x）在（0，+∞）单调递增，从而x=1不是f（x）的极小值点；
（Ⅱ）先求出函数的导数，分别讨论当m=0时，当0＜m＜1时，当m≥1时的情况，从而求出函数的单调递增区间；
（Ⅲ）先求出g（x）的表达式，得出g（x）≤g（1）恒成立；得不等式t2+(1+

1

2

m)t+

1

2

m-1≤0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=mx-2+

1

x

，
令f'（1）=0，得m=1；
当m=1时，f′(x)=

(x-1)2

x+1

≥0，
于是f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴x=1不是f（x）的极小值点；
（Ⅱ）f′(x)=

mx2-2x+1

x

，
当m=0时，f（x）在(0，

1

2

)上单调递增；
当0＜m＜1时，f（x）在(0，

1- 1-m

m

)上单调递增，(

1+ 1-m

m

，+∞)上单调递增；
当m≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递；
（Ⅲ）g(x)=f(x)-lnx+x3=x3+

1

2

mx2-2x．
由题意，当x∈[1，t]时，g（x）≤g（1）恒成立；
易得g(x)-g(1)=(x-1)[x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1]≤0，
令h(x)=x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1，
因为h（x）必然在端点处取得最大值，即h（t）≤0，
即t2+(1+

1

2

m)t+

1

2

m-1≤0，
即

-t2-t+1

t+1

≥-2，解得，1＜t≤

1+ 13

2

，
所以t的最大值为

1+ 13

2

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，是一道综合题．